entradas de mail

quisiera saber si hay posibilidad de que el mail me avise desde su ícono en el dock de la entrada de mensajes una vez que enciendo el ordenador, y nó cuando abro meil.

Tienes varias opciones. La primera podría ser utilizar un Widget de Mail. Existen varios, aunque por experiencia propia no le vi mucha utilidad, ya que a veces tardaba en actualizar, o no lo hacía correctamente.
La segunda opción que se me ocurre es abrir Mail en el inicio del sistema. El problema de esto es que vas a tener un programa ejecutado continuamente hasta que lo cierres, ocupando recursos del sistema, aunque apenas se nota
Para hacer esto, sigue lo siguiente: Preferencias del sistema/Cuentas, eliges tu cuenta, y pulsas en la pestaña "Arranque". Aquí te aparecerán las aplicaciones que se te abren al iniciar el sistema, simplemente pulsa en "+" y busca la aplicación Mail. La opción "ocultar" debe estar activada en esta aplicación. Esto evita que se te abra la ventana, de forma que al iniciar el sistema, Mail se abrirá en segundo plano, mostrando los mensajes nuevos en el Dock.

Un saludo